Trigonométrie Exemples

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$

Étape 1

Factorisez $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Étape 1.3

Remplacez $- 0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.2

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.3

Multipliez $12$ par $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.4

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$- 0.\overline{4} + 16 \cdot 0.\overline{1} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.5

Multipliez $16$ par $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 1.\overline{7} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 0.\overline{4}$ et $1.\overline{7}$ .

$1.\overline{3} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 5$ par $- 0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} + 1.\overline{6} - 3$

Étape 1.3.8

Additionnez $1.\overline{3}$ et $1.\overline{6}$ .

$3 - 3$

Étape 1.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3}{3 x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ par $3 x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$5 x$

$3$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{2} + 4 x$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x - 3$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} + 4 x - 3$

Étape 1.6

Écrivez $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 3)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 3)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x + 3))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 3)$