Trigonométrie Exemples

$y = - 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période de $- 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Multipliez $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{3}$ .

Déphasage : $- \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

Déphasage : $- \frac{π}{6}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (- \frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{6}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{- π}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (- \frac{π}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{- π + π}{3})$

Étape 6.1.2.2.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{0}{3})$

Étape 6.1.2.2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cdot 1$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{12}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{12}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Étape 6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Étape 6.2.2.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{6})$

Étape 6.2.2.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Étape 6.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cdot 0$

Étape 6.2.2.8

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{π}{12}) = 0$

Étape 6.2.2.9

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{3}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π + π}{3})$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (π)$

Étape 6.3.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.7

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.7.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 3$

Étape 6.3.2.8

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{7 π}{12}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{12}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{2 (6)}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3})$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Étape 6.4.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Étape 6.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Étape 6.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Étape 6.4.2.5.2

Additionnez $7 π$ et $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{9 π}{6})$

Étape 6.4.2.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 6.4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Étape 6.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Étape 6.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Étape 6.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cdot 0$

Étape 6.4.2.9

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 0$

Étape 6.4.2.10

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}) + \frac{π}{3})$

Étape 6.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{5 π + π}{3})$

Étape 6.5.2.3

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

Étape 6.5.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Étape 6.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Étape 6.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

Étape 6.5.2.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (0)$

Étape 6.5.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cdot 1$

Étape 6.5.2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3$

Étape 6.5.2.8

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{3} & 3 \\ \frac{7 π}{12} & 0 \\ \frac{5 π}{6} & - 3 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{3} & 3 \\ \frac{7 π}{12} & 0 \\ \frac{5 π}{6} & - 3 \end{array}$

Étape 8