Trigonométrie Exemples

$\cos (22.5)$

Étape 1

Pour convertir des degrés en radians, multipliez par $\frac{π}{180 °}$ , car un cercle entier fait $360 °$ ou $2 π$ radians.

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{45}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{π}{180}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} π}{2 \cdot 180}$ radians

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $180$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} π}{360}$ radians