Trigonométrie Exemples

$\sin (105)$

Étape 1

Pour convertir des degrés en radians, multipliez par

$\frac{π}{180 °}$ , car un cercle entier fait

$360 °$ ou

$2 π$ radians.

Étape 2

La valeur exacte de

$\sin (105)$ est

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (75) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.2

Divisez

$75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4

La valeur exacte de

$\sin (30)$ est

$\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5

La valeur exacte de

$\cos (45)$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.6

La valeur exacte de

$\cos (30)$ est

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.7

La valeur exacte de

$\sin (45)$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1.1.1

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.1.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2

Multipliez

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2.3

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2.4

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 3

Multipliez

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Étape 3.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par

$\frac{π}{180}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{4 \cdot 180}$ radians

Étape 3.2

Multipliez

$4$ par

$180$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{720}$ radians