Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{23 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $\frac{23 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.8

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

$0.96592582 \dots$