Trigonométrie Exemples

$\cos (- 105)$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $- 105$ peut être divisé en $45 - 150$ .

$\cos (45 - 150)$

Étape 2

Utilisez la formule de la différence pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (45) \cdot \cos (150) + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$\cos (45) \cdot \cos (150) + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (150) + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (30)) + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (45) \cdot \sin (150)$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (150)$

Étape 4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)$

Étape 4.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $- (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ comme $- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25881904 \dots$