Trigonométrie Exemples

$\sec (105)$

Étape 1

Remplacez $\sec (105)$ par une expression équivalente $\frac{1}{\cos (105)}$ en utilisant les identités fondamentales.

$\frac{1}{\cos (105)}$

Étape 2

Utilisez une formule de somme ou de différence sur le dénominateur.

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Étape 2.1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $105$ peut être divisé en $45 + 60$ .

$\frac{1}{\cos (45 + 60)}$

Étape 2.2

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4.4

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)}$

Étape 2.4.5

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Étape 3.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Étape 3.8.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ comme $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Étape 3.9

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Forme décimale :

$- 3.86370330 \dots$