Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Étape 1.1

L’angle $\frac{π}{3}$ est un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Comme c’est le cas, ajoutez $0$ pour conserver la même valeur.

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.2

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.3.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.4.3

Multipliez $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.5

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.7

L’angle $\frac{π}{4}$ est un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Comme c’est le cas, ajoutez $0$ pour conserver la même valeur.

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.8

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.9.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.9.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.10.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.10.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.10.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 1.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 2.1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

Étape 2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Étape 2.3

Associez les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Étape 2.3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.4.2

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.4.3

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Étape 2.5

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.6

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.7.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.7.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Étape 2.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Étape 2.7.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.7.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $- 2$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 2.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 2.8.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Étape 2.9

Réécrivez $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ comme $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Étape 2.10

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 3.73205080 \dots$