Trigonométrie Exemples

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6}) + \arctan (- 5))$

Étape 1

Utilisez la formule de la somme pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$\frac{1}{6} \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, - 5)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (- 5)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, - 5)$ . Ainsi, $\cos (\arctan (- 5))$ est $\frac{\sqrt{26}}{26}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{26}}$ par $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.2

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.3

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{2}$ comme $26$ .

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Étape 3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{26}$ comme $26^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26}$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{\sqrt{26}}{26}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{6 \cdot 26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.3.2

Multipliez $6$ par $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.4

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{1}{6})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{1}{6}))$ est $\sqrt{\frac{35}{36}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \sqrt{\frac{35}{36}} \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{35}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}} \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{6^{2}}} \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} \sin (\arctan (- 5))$

Étape 3.7

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{26}}$ par $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

Étape 3.7.2

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

Étape 3.7.3

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

Étape 3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

Étape 3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

Étape 3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{2}$ comme $26$ .

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Étape 3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{26}$ comme $26^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{1}})$

Étape 3.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$ .

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{35}}{6}$ par $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{\sqrt{35} (5 \sqrt{26})}{6 \cdot 26}$

Étape 3.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{35 \cdot 26}}{6 \cdot 26}$

Étape 3.8.3

Multipliez $35$ par $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{6 \cdot 26}$

Étape 3.8.4

Multipliez $6$ par $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{156}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

Forme décimale :

$- 0.93417956 \dots$