Trigonométrie Exemples

$2 \sin (15) \cos (15)$

Étape 1

Le complément de $2 \sin (15) \cos (15)$ est l’angle qui, ajouté à $2 \sin (15) \cos (15)$ , forme un angle droit ( $90 °$ ).

$90 ° - 2 \sin (15) \cos (15)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

Étape 2.1.2

Séparez la négation.

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

Étape 2.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 2.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

Étape 2.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

Étape 2.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 2.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 2.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 2.2.4

Réécrivez l’expression.

Étape 2.3

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

Étape 2.4.2

Séparez la négation.

Étape 2.4.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Étape 2.4.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.4.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 2.4.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.4.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

Étape 2.4.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 2.4.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

Étape 2.4.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

Étape 2.4.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 2.4.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

Étape 2.4.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 2.4.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$90 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 °}$

Étape 2.5

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$90 - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Développez $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$90 - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$90 - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$90 - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$90 - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$90 - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$90 - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.13

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.13.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.13.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8 °}$

Étape 2.6.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Étape 2.6.2.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$90 - \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8 °}$

Étape 2.6.2.3

Additionnez $- 2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{4 + 0}{8 °}$

Étape 2.6.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$90 - \frac{4}{8 °}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$90 - \frac{4 (1)}{8 °}$

Étape 2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$90 - \frac{1}{2 °}$

Étape 3

Pour écrire $90$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Étape 4

Associez $90$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{90 \cdot 2 - 1}{2 °}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $90$ par $2$ .

$\frac{180 - 1}{2 °}$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $180$ .

$\frac{179}{2 °}$