Trigonométrie Exemples

$\tan (105)$

Étape 1

Le supplément de $\tan (105)$ est l’angle qui, ajouté à $\tan (105)$ , forme un angle plat ( $180 °$ ).

$180 ° - \tan (105)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\tan (105)$ est $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

Étape 2.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.8

Simplifiez $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Étape 2.1.8.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

Étape 2.1.8.1.2

Associez.

Étape 2.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.3.2

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.8.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 2.1.8.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

Étape 2.1.8.5.3.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.5.3.3

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.8.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.8.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

Étape 2.1.8.9

Simplifiez

$180 + \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.8.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$180 + \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$180 + \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$180 + \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$180 + \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$180 + \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6 °}$

Étape 2.1.8.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$180 + \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$180 + \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$180 + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$180 + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$180 + \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$180 + \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$180 + \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.1.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$180 + \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$180 + \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$180 + \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

Étape 2.1.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$180 + \frac{2 + \sqrt{3}}{1 °}$

Étape 2.1.8.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

Étape 2.1.8.15

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.1.8.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

Étape 2.4

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

Étape 2.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

Étape 3

Additionnez $180$ et $2$ .