Trigonométrie Exemples

$\cos (22.5)$

Étape 1

Le supplément de $\cos (22.5)$ est l’angle qui, ajouté à $\cos (22.5)$ , forme un angle plat ( $180 °$ ).

$180 ° - \cos (22.5)$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

Étape 2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Étape 2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$180 - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Étape 3

Pour écrire $180$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$180 \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Étape 4

Associez $180$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{180 \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{180 \cdot 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Étape 5.2

Multipliez $180$ par $2$ .

$\frac{360 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{360 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Forme décimale :

$179.07612046 \dots$