Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 3

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 4

Associez.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 5

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 6

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 8.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Étape 8.3.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

Étape 8.3.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 8.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Étape 8.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 8.4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

Étape 8.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

Étape 8.6

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ par $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (x)$ .

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Étape 8.7.1

Factorisez $1 - \sin (x)$ à partir de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 8.7.2

Factorisez $1 - \sin (x)$ à partir de $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 8.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 8.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.8.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 8.9

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 8.10

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 8.11

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ comme $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ est une identité