Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.4

Développez $(- 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.2

Multipliez $- 1 (- \sin (x))$ .

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Étape 2.5.5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 2.5.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + 0 + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.5.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.9

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.5.11

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.6

Divisez $0$ par $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$0$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} = 0$ est une identité