Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} = \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x))}{1 - \csc (x)}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})}{1 - \csc (x)}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})}{1 - \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Étape 3.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Étape 3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sin (x) - 1}{1}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Étape 3.4.2

Divisez $\sin (x) - 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\sin (x) - 1) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - 1}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x) - 1$ .

$\sin (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} = \sin (x)$ est une identité