Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1} = \sin (x) - 2$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x)) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\sin (x) (2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) - 2 (2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$ .

$\frac{(2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) - 2$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1} = \sin (x) - 2$ est une identité