Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)}$

Étape 2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Étape 3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\csc (x) - \sec (x)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sec (x)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6

Soustrayez des fractions.

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Étape 6.1

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Pour écrire $- \frac{1}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (x) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$ est une identité