Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 2 = 2 \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{2 \cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x)}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2.2

Associez $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 2$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{2 (1 - \sin^{2} (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 2$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 2$

Étape 4.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 2$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (x)$ .

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 2$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\sin (x)} - 2$

Étape 4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\sin (x)} - 2 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (1 + \sin (x)) - 2 \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + \sin (x)) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x) - \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + 0)}{\sin (x)}$

Étape 4.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{\sin (x)}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{2}{\sin (x)}$ comme $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{2 \cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 2 = 2 \csc (x)$ est une identité