Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.4.3

Réorganisez les facteurs de $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.4

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.5.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Étape 3.6.5.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.6.5.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à ${(1 + \sin (x))}^{2}$ et $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $1 + \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ est une identité