Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Pour écrire $- \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.2

Associez $- \cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez $1 - {\cos (x)}^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $1 + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Étape 5.1.4

Multipliez $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 5.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Étape 5.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Étape 5.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 5.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ est une identité