Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ par $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ par $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Additionnez $\sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) - \tan (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 3.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $2 \sec (x)$ et $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sec (x)}{1}$

Étape 6

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Divisez $2 \frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{2}{\cos (x)}$ comme $2 \sec (x)$ .

$2 \sec (x)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$ est une identité