Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ par $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ par $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Étape 3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Étape 3.3

Additionnez $2 \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Développez $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

Étape 5.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Associez.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 10

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 12

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 13

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Étape 13.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14.3

Multipliez $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 14.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Étape 14.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Étape 14.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 14.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 14.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 15

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ est une identité