Trigonométrie Exemples

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Développez $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.2

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.4

Développez $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Déplacez $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.6

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.2

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.3

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 5.6.4

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 5.6.5

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 5.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 5.10

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 5.11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Étape 5.12

Appliquez la propriété distributive.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 5.13

Déplacez $2$ à gauche de $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 5.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 5.15

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.15.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Étape 5.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Étape 5.15.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ est une identité