Trigonométrie Exemples

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\csc (x) + 1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 2.3

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.3.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Étape 2.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2

Soustrayez $\frac{1}{\cos (x)}$ de $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.3

Additionnez $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Soustrayez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${\cos (x)}^{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$ est une identité