Trigonométrie Exemples

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$

Étape 2.2

Développez $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 - \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Étape 2.3.1.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.1.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.1.6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Étape 2.3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Étape 2.6.2.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$ est une identité