Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Étape 2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \cos (a) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (a)$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{\sin^{2} (a)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1 - \cos^{2} (a)}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1^{2} - {\cos (a)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{(1 + \cos (a)) (1 - \cos (a))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à ${(1 + \cos (a))}^{2}$ et $1 + \cos (a)$ .

$\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ comme $\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$ .

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$ est une identité