Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 4.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 7.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ comme $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

Étape 10

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ est une identité