Trigonométrie Exemples

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$(\sin (x) - \cos (x)) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3.1.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${\sin (x)}^{1} \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})$

Étape 3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - {\cos (x)}^{2}$

Étape 3.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

${\sin (x)}^{2} + 0 - {\cos (x)}^{2}$

Étape 3.3

Additionnez ${\sin (x)}^{2}$ et $0$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 5

Soustrayez ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 - 2 \cos^{2} (x)$ est une identité