Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (B)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (B)$ .

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ par $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de ${\sin (B)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de ${\sin (B)}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez ${\cos (B)}^{2}$ à partir de ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

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Étape 3.4.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez ${\cos (B)}^{2}$ à partir de ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez ${\cos (B)}^{2}$ à partir de ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $- 1 {\sin (B)}^{2}$ comme $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $1 - {\sin (B)}^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.4.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez $- 1 {\sin (B)}^{2}$ comme $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $1 - {\sin (B)}^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.5.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $1 + \sin (B)$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (B)$ .

$\cos^{2} (B)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ est une identité