Trigonométrie Exemples

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2.4

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 2.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Étape 2.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à ${(1 + \sin (x))}^{2}$ et $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ comme $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ est une identité