Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)} = \tan^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin^{2} (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos^{2} (x) - \cot (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin^{2} (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos^{2} (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{{\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\cos (x) \sin (x) ({\sin (x)}^{2} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) ({\cos (x)}^{2} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\sin (x)) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} + \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \cos (x) (- \cos (x))}$

Étape 3.3.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Étape 3.3.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Étape 3.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez ${\sin (x)}^{3}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez ${\sin (x)}^{3}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) - {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez ${\sin (x)}^{3}$ à partir de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) + {\sin (x)}^{3} (- {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez ${\sin (x)}^{3}$ à partir de ${\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}) + {\sin (x)}^{3} (- {\sin (x)}^{- 1})$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1} - {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez ${\sin (x)}^{- 2}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1} - {\sin (x)}^{- 1}$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez ${\sin (x)}^{- 2}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\sin (x)}^{- 1}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) - {\sin (x)}^{- 1})}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez ${\sin (x)}^{- 2}$ à partir de $- {\sin (x)}^{- 1}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) + {\sin (x)}^{- 2} (- \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez ${\sin (x)}^{- 2}$ à partir de ${\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x)) + {\sin (x)}^{- 2} (- \sin (x))$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \sin (x) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\cos (x) \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.4.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\cos (x) {\sin (x)}^{2} - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) {\sin (x)}^{2} - \sin (x)$ .

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) - \sin (x)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} (\sin (x) (\cos (x) \sin (x) - 1)))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} \sin (x) (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Multipliez ${\sin (x)}^{- 2}$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.1

Multipliez ${\sin (x)}^{- 2}$ par $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.5.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2} {\sin (x)}^{1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 2 + 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.5.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} ({\sin (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

$\frac{{\sin (x)}^{3} {\sin (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez ${\sin (x)}^{3}$ par ${\sin (x)}^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{3 - 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez ${\cos (x)}^{3}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez ${\cos (x)}^{3}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) - {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez ${\cos (x)}^{3}$ à partir de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) + {\cos (x)}^{3} (- {\cos (x)}^{- 1})}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez ${\cos (x)}^{3}$ à partir de ${\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}) + {\cos (x)}^{3} (- {\cos (x)}^{- 1})$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1} - {\cos (x)}^{- 1})}$

Étape 3.5.2

Factorisez ${\cos (x)}^{- 2}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1} - {\cos (x)}^{- 1}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez ${\cos (x)}^{- 2}$ à partir de $\cos (x) \sin (x) {\cos (x)}^{- 1}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) - {\cos (x)}^{- 1})}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez ${\cos (x)}^{- 2}$ à partir de $- {\cos (x)}^{- 1}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) + {\cos (x)}^{- 2} (- \cos (x)))}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez ${\cos (x)}^{- 2}$ à partir de ${\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x)) + {\cos (x)}^{- 2} (- \cos (x))$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) \sin (x) \cos (x) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\cos (x) \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.5.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1} \cos (x) \sin (x) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} \sin (x) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} ({\cos (x)}^{2} \sin (x) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2} \sin (x) - \cos (x)$ .

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Étape 3.5.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) - \cos (x)))}$

Étape 3.5.4.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1))}$

Étape 3.5.4.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (\cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} (\cos (x) (\cos (x) \sin (x) - 1)))}$

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} \cos (x) (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

Étape 3.5.5

Multipliez ${\cos (x)}^{- 2}$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez ${\cos (x)}^{- 2}$ par $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

Étape 3.5.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 2 + 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

Étape 3.5.5.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} ({\cos (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1))}$

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3} {\cos (x)}^{- 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

Étape 3.5.6

Multipliez ${\cos (x)}^{3}$ par ${\cos (x)}^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{3 - 1} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) \sin (x) - 1)}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x) \sin (x) - 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan (x)}{\cos^{2} (x) - \cot (x)} = \tan^{2} (x)$ est une identité