Trigonométrie Exemples

\frac{{csc}^{2} (x)}{{cot}^{2} (x) - 1} = \frac{{sec}^{2} (x)}{1 - {tan}^{2} (x)}

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

\frac{{csc}^{2} (x)}{{cot}^{2} (x) - 1}

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à

csc (x)

$\csc (x)$ .

\frac{{(\frac{1}{sin (x)})}^{2}}{{cot}^{2} (x) - 1}

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

Étape 2.2

Écrivez

cot (x)

$\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

\frac{{(\frac{1}{sin (x)})}^{2}}{{(\frac{cos (x)}{sin (x)})}^{2} - 1}

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

\frac{\frac{1^{2}}{{sin}^{2} (x)}}{{(\frac{cos (x)}{sin (x)})}^{2} - 1}

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à

\frac{cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

\frac{\frac{1^{2}}{{sin}^{2} (x)}}{\frac{{cos}^{2} (x)}{{sin}^{2} (x)} - 1}

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

\frac{\frac{1^{2}}{{sin}^{2} (x)}}{\frac{{cos}^{2} (x)}{{sin}^{2} (x)} - 1}

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\frac{1^{2}}{{sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{cos (x)}^{2}}{{sin (x)}^{2}} - 1}

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Étape 3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\frac{1}{{sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{cos (x)}^{2}}{{sin (x)}^{2}} - 1}

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez

\frac{{cos (x)}^{2}}{{sin (x)}^{2}}

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ comme

{(\frac{cos (x)}{sin (x)})}^{2}

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

\frac{1}{{sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{cos (x)}{sin (x)})}^{2} - 1}

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Étape 3.3.2

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et

$b = 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 3.3.4

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 3.3.6

Pour écrire

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.7

Associez

$- 1$ et

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.4

Multipliez

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ par

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

Étape 3.5.2

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

Étape 3.5.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Étape 3.5.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.6

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.7

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.8

Associez

${\sin (x)}^{2}$ et

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Étape 3.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Étape 4

Réécrivez

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ comme

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ est une identité