Trigonométrie Exemples

$3 \cos (x + y) + 3 \cos (x - y) = 6 \cos (x) \cos (y)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$3 \cos (x + y) + 3 \cos (x - y)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$3 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) + 3 \cos (x - y)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$3 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) + 3 (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\cos (x) \cos (y)) + 3 (- \sin (x) \sin (y)) + 3 (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 (\sin (x) \sin (y)) + 3 (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1

Comme $\cos (- y)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- y)$ comme $\cos (y)$ .

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4.1.3.2

Comme $\sin (- y)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- y)$ comme $- \sin (y)$ .

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) + 3 \sin (x) \sin (y)$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $3 \cos (x) \cos (y) - 3 \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) + 3 \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 3 \sin (x) \sin (y)$ et $3 \sin (x) \sin (y)$ .

$3 \cos (x) \cos (y) + 3 \cos (x) \cos (y) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $3 \cos (x) \cos (y) + 3 \cos (x) \cos (y)$ et $0$ .

$3 \cos (x) \cos (y) + 3 \cos (x) \cos (y)$

Étape 4.3

Additionnez $3 \cos (x) \cos (y)$ et $3 \cos (x) \cos (y)$ .

$6 \cos (x) \cos (y)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 \cos (x + y) + 3 \cos (x - y) = 6 \cos (x) \cos (y)$ est une identité