Trigonométrie Exemples

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Étape 2

Comme $\cot (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- x)$ comme $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Étape 3

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Étape 4

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Étape 5.2

Multipliez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Étape 5.2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 5.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 5.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 7.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 7.2

Pour écrire $- \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.3

Associez $- \sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.2

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.2

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.4

Multipliez $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 7.5.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.2

Additionnez $- \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.4

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.5.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 7.5.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Étape 7.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Étape 7.5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Étape 7.5.5

Additionnez $- {\sin (x)}^{2}$ et ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Étape 7.5.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Étape 11

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 13

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- \csc (x)$

Étape 14

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 15

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ est une identité