Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.6

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.7

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.8

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.10

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.11

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

Étape 4.1.12

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Étape 4.1.13

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{2} \cos (x)$ et $- \cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $\sqrt{2} \cos (x)$ de $\sqrt{2} \cos (x)$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{2} \sin (x)$ et $- \sin (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Étape 4.3.5

Soustrayez $\sqrt{2} \sin (x)$ de $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ est une identité