Trigonométrie Exemples

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 2.5.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 2.6

Développez $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.7.1.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 2.7.2

Additionnez $\sin (x)$ et $4 \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 4.2

Pour écrire $5 \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.3

Développez $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.4.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.4

Multipliez $2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.4.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.2

Additionnez $- 2 \cos (x)$ et $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.4.4.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Étape 4.5

Pour écrire $2 \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Étape 6

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Étape 7

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Étape 8

Écrivez $5 \sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

Étape 9

Additionnez des fractions.

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Étape 9.1

Pour écrire $\frac{5 \sin (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{5 \sin (x)}{1}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ est une identité