Trigonométrie Exemples

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2})$

Étape 2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)})$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)})$

Étape 2.1.5

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Étape 2.4.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$ est une identité