Trigonométrie Exemples

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x) = (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$(\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ .

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Étape 2.1

Multipliez par $1$ .

$(\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{4} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 2.3

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 3.1

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1) \sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sec^{2} (x)$

Étape 4.3

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.2

Associez.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.3

Associez.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2} \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $1^{2}$ par $1$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1

Déplacez $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot (1 \cdot 1^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $1$ par $1^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot (1^{1} \cdot 1^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{1 + 2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.5

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{2 + 2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{4} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.6

Multipliez ${\cos (x)}^{4}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{4 + 2}}$

Étape 5.6.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{6}}$

Étape 5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1}{{\cos (x)}^{6}}$

Étape 5.8

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{6} (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{6} (x)}$ comme $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x) = (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$ est une identité