Trigonométrie Exemples

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sec^{4} (x)$ comme ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec^{2} (x)$ et $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.4.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Étape 4.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ est une identité