Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\sec (A) + \csc (A)}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \csc (A)}$

Étape 2.4

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (A) \sin (A)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$ par $\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)}$ .

$\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\cos (A)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $\sin (A)$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sin (A)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $\cos (A)$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun de $\sin (A)$ .

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Étape 3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A)}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\sin (A) + \cos (A)}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$ comme $\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ .

$\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ est une identité