Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \frac{1 + \cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ par $\frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{1 + \cos (t)}{1 + \cos (t)}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\sin (t) (1 + \cos (t))}{(1 - \cos (t)) (1 + \cos (t))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t)}{(1 - \cos (t)) (1 + \cos (t))}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{(1 - \cos (t)) (1 + \cos (t))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - \cos (t)) (1 + \cos (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{1 (1 + \cos (t)) - \cos (t) (1 + \cos (t))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (t) - \cos (t) (1 + \cos (t))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (t) - \cos (t) \cdot 1 - \cos (t) \cos (t)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{1 - \cos^{2} (t)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin (t) + \sin (t) \cos (t)$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t)}{{\sin (t)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (\cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (\cos (t))$ .

$\frac{\sin (t) (1 + \cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 + \cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \frac{1 + \cos (t)}{\sin (t)}$ est une identité