Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cot (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ par $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ par $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\sin (A) \sin (A)$ .

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Étape 2.6.1.1

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.1.2

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin^{1} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (A)}^{1 + 1} - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) \cdot 1 - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4

Multipliez $- \cos (A) (- \cos (A))$ .

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + 1 \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $\cos (A)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4.3

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4.4

Élevez $\cos (A)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos^{1} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + {\cos (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.5

Réécrivez $\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)$ en forme factorisée.

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Étape 2.6.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{- \cos (A) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.6.5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos (A) + 1}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $- \cos (A) + 1$ et $1 - \cos (A)$ .

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Étape 2.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (A)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{\sin (A)}$ comme $\csc (A)$ .

$\csc (A)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$ est une identité