Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\sin (y)})}^{2} - \csc (y) \cot (y)$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Étape 2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Étape 2.4

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cot (y)$

Étape 2.5

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 2.6

Multipliez $- \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin (y) \sin (y)}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin (y)}$

Étape 2.6.3

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}$

Étape 2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{{\sin (y)}^{1 + 1}}$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos (y)}{1 - \cos^{2} (y)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1 - \cos (y)}{1^{2} - {\cos (y)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (y)$ .

$\frac{1 - \cos (y)}{(1 + \cos (y)) (1 - \cos (y))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $1 - \cos (y)$ .

$\frac{1}{1 + \cos (y)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$ est une identité