Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ par $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ par $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) - \sec (x) (- \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- \sec (x) (- \cot (x))$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + 1 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.2

Soustrayez $\sec (x) \csc (x)$ de $\sec (x) \csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + 0 + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $\sec (x) \cot (x)$ et $0$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 3.4

Additionnez $\sec (x) \cot (x)$ et $\sec (x) \cot (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{1}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \cot (x)}{1}$

Étape 6.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Divisez $2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 7.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{2}{\sin (x)}$ comme $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$ est une identité