Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

Étape 2.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ est une identité