Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Soustrayez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 4.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ comme $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ est une identité