Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\tan (x) + \cot (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{\sin (x) \frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) \frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.6

Réduisez l’expression $\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Étape 3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Étape 5

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \cos (x)$ est une identité