Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ par $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ par $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\csc (x) (- \csc (x))$ .

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Étape 3.1.3.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 3.1.6.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.6.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.2

Soustrayez $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $- {\csc (x)}^{2}$ et $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 3.4

Soustrayez ${\csc (x)}^{2}$ de $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Étape 5.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

Étape 6.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Étape 6.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 7.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de ${\sin (x)}^{2}$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 7.4.2

Factorisez ${\sin (x)}^{2}$ à partir de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 7.5

Associez $- 2$ et $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 7.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ comme $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ est une identité