Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) + 1} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) + 1}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\csc (x) + 1}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 1}{1 + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{1 - 1 \cdot \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) + 1} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ est une identité