Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ par $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\cot (A)$ par $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Étape 4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Étape 6.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Étape 7

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 7.1

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Étape 7.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Étape 7.3

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Étape 7.4

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Étape 7.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.2

Multipliez $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (A)}$ par $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.2.2

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.2.3

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.3

Pour écrire $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (A)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ par $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.4.2

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.4.3

Élevez $\sin (A)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.6

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.6.2

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.6.3

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $\cos (A)$ .

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Étape 8.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Étape 8.7.2

Factorisez $\cos (A)$ à partir de ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Étape 8.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Étape 8.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de ${\sin (A)}^{2}$ .

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Étape 8.8.1

Factorisez ${\sin (A)}^{2}$ à partir de $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Étape 8.10

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Étape 8.11

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

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Étape 8.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Étape 8.11.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (A)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Étape 8.12

Associez $\sin (A)$ et $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec (A) - \tan (A)$

Étape 10

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 10.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Étape 10.2

Écrivez $\tan (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ est une identité